Установлено, что гидродинамика псевдоожиженного слоя (ПС) и, следовательно, поля температур и концентраций в псевдоожиженном слое во многом определяются гидродинамикой всей химико-технологической системы (ХТС), в составе которой функционирует аппарат кипящего слоя. Предложен алгоритм подбора промышленного аппарата псевдоожиженного слоя в сочетании с ХТС.

Ранее кипящий слой представлялся технологам очень перспективным технологическим приемом для многих переделов сырья: частицы зернистого материала активно движутся в объеме аппарата, их поверхность практически полностью участвует в процессах обмена субстанциями, поля температур и концентраций примесей в газовой фазе практически неизменны по объему аппарата, простота загрузки и выгрузки зернистого материала. Все это очень соблазняло технологов особенно для внешней задачи обмена. Коэффициенты переноса, естественно, получались много больше, чем в гомогенном случае тепло-массообмена.

Началось создание промышленных установок в химической промышленности с применением аппаратов псевдоожиженного слоя. И вот тут-то технологи стали постепенно охладевать к кипящему слою. Дело в том, что аппараты псевдоожиженного слоя в связке с различными химико-технологическими системами оказывались подчас не работоспособными. К примеру, установка производства серной кислоты путем обжига серного колчедана в кипящем слое (первые пуски в 1975 г.) оказалась очень капризной. Ее не стали тиражировать. Та же участь постигла установку синтеза метилхлорсиланов. Крайне непредсказуемо работала двухзонная печь обжига керамзитового песка в кипящем слое.

Сегодня псевдоожиженный слой используется только для сушки не очень «нежных» зернистых материалов и в процессах катализа в нефтепереработке.

Много лет назад [1, 2, 3] созревала проблема моделирования гидродинамики псевдоожиженного слоя. Здесь речь шла о следующем. Под гидродинамикой ПС понимались векторное поле скорости сплошной фазы, поле давления в ней и поле концентрации частиц в фазовом пространстве f(…) (геометрическом и скоростном). Моделировать физические процессы объекта [4] означает: найти комплект обобщенных аргументов и обобщенных искомых функций, который позволяет переносить количественную информацию с одного объекта на ему подобный и масштабный переход от малого лабораторного аппарата к большому промышленному.

Напомним определение понятия: два процесса (даже самой различной природы) называются подобными, если безразмерные искомые функции от безразмерных аргументов тождественны.

Как известно, основным источником обобщенных переменных является физико математическая модель процессов переноса. Ее предпосылки, детальность и подробность рассмотрения, результаты и выводы будут, в конце концов, подвергнуты ревизии экспериментом. Физико математическая модель переноса количества движения и массы частиц в псевдоожиженном слое в нашем подходе характерна прежде всего тем, что она учитывает случайность движения твердой и, следовательно, сплошной фазы. Этот учет производился тем, что функция f(…) объявлялась искомой одночастичной функцией плотности распределения вероятностей представительной частицы слоя в фазовом пространстве. Для этой функции будем писать закон сохранения числа частиц в виде уравнения Больцмана из статистической физики:

Закон сохранения числа частиц в виде уравнения Больцмана

где u – вектор скорости в фазовом пространстве.

Уже здесь столкнулись с принципиальной трудностью: в правой части этого уравнения необходимо записать выражение «столкновительного» члена, т.е. некий оператор от хотя бы двухчастичной функции плотности распределения вероятностей. Но, если бы она была известна, то одночастичная определяется однозначно и ее искать не надо. Необходимы какие-то физические представления о взаимодействии двух, трех и более соседних частиц зернистого материала в объеме псевдоожиженного слоя. Таких представлений, да еще оформленных в виде количественных связей, не было ни 45 лет назад, нет и сегодня. А посему поступаем «старым казачьим способом»: в правой части уравнения Больцмана пишем ноль, четко понимая, что уродуем математическую модель процесса, делаем карикатуру, но … .

Рассматривая движение сплошной фазы кипящего слоя (газ или жидкость), мы оказались в плену континуальных представлений, потому записываем обычные уравнения Навье-Стокса (но без учета молекулярного переноса). В правой части этого уравнения записываем выражение, учитывающее взаимодействие фаз. Таким образом, частицы зернистого материала являются источником/стоком количества движения для сплошной фазы. Точно также записываем уравнение сплошности, замыкая его уравнением состояния Клапейрона-Менделеева для газовой фазы или принимая плотность постоянной для жидкой.

Заметим в скобках, что, будучи в плену континуальных представлений, каждая частица в псевдоожиженном слое объявляется материальной точкой, как в теоретической механике. А для сплошной фазы решение проблемы, что такое физически малый объем в геометрическом и скоростном пространстве для нашей задачи, что такое физически малое время dτ - оставляем на конец всего исследования.

Можно отметить, что записать широко известные уравнения сохранения много проще, чем формализовать граничные условия всей задачи. Если очень кратко, то физически они довольно просты: непроницаемые боковые стенки для обеих фаз, непроницаемость распределительной решетки для твердой фазы, отсутствие частиц и, следовательно, возмущений на сплошную фазу далеко по вертикали от решетки. Но вот как найти локальную скорость сплошной среды W(z =0, r, τ) на самой решетке аппарата? Здесь поступили следующим способом. Распределительная решетка является обычным местным гидравлическим сопротивлением для потока сплошной среды. Ее коэффициент сопротивления ξP зависит от конструкции решетки и вполне определяем по справочной литературе. Тогда:

Коэффициент гидравлического сопротивления распределительной решетки в аппарате псевдоожиженного слоя

Определения давления под распределительной решеткой аппарата псевдоожиженного слоя

Рис.1. К вопросу определения давления Р0 под распределительной решеткой аппарата кипящего слоя.

R1 – гидравлическое сопротивление всех аппаратов и газоходов химико-технологической системы с арматурой до аппарата с псевдоожиженным слоем, R2 – после. Линия А – характеристика гидравлической сети всей химико-технологической системы, линия Б – характеристика вентилятора (насоса), линия В – характеристика части ХТС от подрешеточного пространства до выхлопа из ХТС в атмосферу. V0 – номинальный (из регламента) объемный расход ожижающего агента.

где Р0 – давление под распределительной решеткой. Величину Р0, естественно, принимаем постоянной по радиусу аппарата r. Где же теперь брать эту величину Р0? И вот здесь-то пришлось выйти из объема псевдоожиженного слоя и войти в макросистему, во всю химико-технологическую систему, в составе которой работает аппарат кипящего слоя. На рис.1 «а» показана гидравлическая схема химико-технологической системы с аппаратом псевдоожиженного слоя, на рис. 1 «б» показан способ нахождения величины Р0. Таким образом, стремление к корректной постановке математической задачи хотя бы в смысле замкнутости модели заставило включить исследуемый объект в его макросистему, т.е. в химико-технологическую систему.

Чтобы осмыслить полученный результат, вернемся к исходным позициям. Действительно, псевдоожиженный слой разбили на две части, на две подсистемы – частицы зернистого материала и поток сплошной фазы. Первую описываем функцией f (…), вторую – векторным полем W(z, r, τ) и скалярным полем Р(z, r, τ). Все эти функции представляют количественно свойства частей кипящего слоя, как объекта исследования. Теперь же оказалось, что эти свойства частей псевдоожиженного слоя подвержены влиянию свойств надсистемы, точнее, гидродинамики химико-технологической системы. Теперь у частей кипящего слоя появилось новое свойство, которое не является характеристикой самих частей.

Обращаем внимание, что еще на стадии формализации физико математической модели гидродинамики псевдоожиженного слоя сразу получаем практически важный для технологов результат. Суть его: гидродинамика кипящего слоя и, следовательно, поля температур и концентраций примеси в сплошной фазе одного и того же аппарата псевдоожиженного слоя в разных местах по схеме одной и той же химико-технологической системе или в разных ХТС – разные. По-видимому, именно это обстоятельство и определило малую работоспособность промышленных химико-технологических систем, в которых ранее применялся псевдоожиженный слой. Использовать готовые или конструировать аппараты кипящего слоя без учета системы, в составе которой они будут работать – бессмысленно.

Рассмотренная физико математическая модель гидродинамики была обработана методом теории натуральных масштабов [4,5], получены выражения самих натуральных масштабов аргументов (геометрических, скоростных и времени) и искомых функций через многочисленные первичные параметры задачи.

Можно дать следующее определение понятия натурального масштаба. Натуральным масштабом аргумента называется такой его интервал значений, в котором искомая функция меняется существенно. Существенно - означает изменение на величину порядка натурального масштаба искомой функции, если задача не линейна. Для линейных задач речь идет об изменении в e=2,73... раз для обезразмеренной на характерное значение искомой функции.

Из этого определения следует, что на протяженностях линейных и временных в 10 раз больших натурального масштаба исследуемый физический процесс совершится полностью, со всей своей потенциальной полнотой. Из того же определения следует, что на протяженностях линейных или временных в 10 раз меньших натурального масштаба аргумента рассматриваемый процесс характеризуется крайне малым изменением искомых функций. Заметим в скобках, что число 10 в этих рассуждениях пришло от математиков с их пониманием большого и малого. Физики предпочитают число 3.

В частности, натуральный масштаб скорости сплошной среды в разреженной части псевдоожиженного слоя равен:

Натуральный масштаб скорости сплошной среды в разреженной части псевдоожиженного слоя

где g = 9,81 м/с2, 2RT – диаметр частиц слоя, м; k и n – коэффициенты в формуле зависимости сопротивления частицы потоку сплошной фазы (внешняя задача); ν – коэффициент кинематической вязкости потока, м2/с; ρТ и ρ – плотность материала частиц и сплошной фазы соответственно, кг/м3. Этот масштаб скорости по существу представляет собой скорость витания одиночной частицы материала.

Радиальный натуральный масштаб изменения полевых переменных в разреженной части кипящего слоя равен:

где m – масса слоя в аппарате, кг.

Натуральный линейный масштаб по вертикальной оси равен:

Натуральный масштаб времени перестройки полей в разреженной части псевдоожиженного слоя равен:

Натуральный масштаб времени перестройки полей в разреженной части кипящего слоя

Натуральный масштаб времени перестройки концентрации частиц в скоростном пространстве (это по смыслу, время образования пакетов из частиц и пузырей) равен:

Натуральный масштаб поля давления в разреженной части кипящего слоя равен:

Натуральный масштаб поля давления в разреженной части кипящего слоя

Натуральный масштаб скорости движения частиц псевдоожиженного слоя по вертикальной оси в его разреженной части равен:

Натуральный масштаб скорости движения частиц псевдоожиженного слоя по вертикальной оси в его разреженной части

Натуральные линейные масштабы насыпок на газораспределительной решетке аппарата псевдоожиженного слоя равны:

Натуральные линейные масштабы насыпок на газораспределительной решетке аппарата кипящего слоя

Натуральные линейные масштабы насыпок на газораспределительной решетке аппарата кипящего слоя

Здесь ε0 – порозность слоя частиц при плотной упаковке, – тангенс угла наклона касательной к кривой В на рис. 1 при номинальном массовом расходе сплошной фазы.

Натуральный масштаб скорости сплошной фазы, протекающей в каналах между частицами в насыпках на решетке (внутренняя задача), равен:

Натуральный масштаб скорости сплошной фазы, протекающей в каналах между частицами в насыпках на решетке

В этом выражении ξP – коэффициент сопротивления газораспределительной решетки, остальные обозначения показаны выше.

Здесь же получен ответ на вопрос, что такое dz, dr, dτ для псевдоожиженного слоя: это 10-1 соответствующих масштабов задачи; точность решений: 10-1 соответствующих масштабов искомых функций и не точнее.

Замечание. Большинство гидродинамиков и тепло-физиков, работающих с гомогенными средами, подчас не отягощают себя вопросами о пространственно-временных масштабах своих рассмотрений, о действительных величинах физически малых объемов и времен, в рамках которых искомые функции изменяются пренебрежительно мало. Сам смысл «мало – много» количественно не определен, не конкретизирован. Точность решения задач по умолчанию – любая. Эта проблема встает во весь свой рост для дисперсных сред: на поверхности твердых частиц, капель, пузырей происходит разрыв свойств, нет непрерывности функций и их производных. Теорема Остроградского – Гаусса не работает, происхождение уравнений переноса субстанций теряет свою строгость и приобретает черты феномена. Выход из создавшегося положения предлагает метод натуральных масштабов. При этом оказывается, что физически малые размеры, объем и время, точность решений определяются совсем не волей и иллюзиями разработчика математической модели физических процессов, а детальностью и подробностью, полнотой физических представлений, заложенных в математической модели процесса.

Окончательно, теория обобщенного анализа представляет результат в виде обобщенных искомых функций гидродинамики псевдоожиженного слоя:

Обобщенные искомые функции гидродинамики псевдоожиженного слоя

безразмерных аргументов:

Безразмерные аргументы

обобщенных переменных (критериев подобия):

Обобщенные переменные (критерии подобия)

Напомним, что здесь R - радиус аппарата с кипящим слоем.

Не сложно видеть, что первый критерий подобия при 0<n<1 не испытывает больших изменений, а второй – просто вырождается при псевдоожижении газами. Таким образом, псевдоожижение жидкостями имеет 5 критериев подобия, газами – 4.

Проведено количественное и качественное сопоставление результатов и выводов с экспериментами, проведенными и на промышленных и на лабораторных аппаратах [5]. Это сопоставление, надеемся, позволит убедить строгого оппонента в адекватности и научной добротности и математической модели физических процессов, и следствий из нее.

Ранее эта информация была фрагментарно опубликована в различных журналах да еще с разбросом по времени. Теперь с формализацией модели гидродинамики псевдоожиженного слоя, с обработкой ее методом натуральных масштабов, с экспериментальной проверкой математической модели в целом можно ознакомиться в [5].

Основные результаты и выводы.

1. Рассмотрение силы взаимодействия частиц зернистого материала с потоком сплошной фазы показывает, что эта сила явно зависит от абсолютной скорости поступательного движения частицы. Следовательно, система – облако частиц + ожижающий агент – не консервативна, и, следовательно, для этой системы не справедлива теорема Лиувиля. Строго показано, что полная (субстанциональная) производная функции f(…) по времени всегда положительна во всем фазовом пространстве. Физически это означает, что частицы зернистого материала при своем движении стремятся к образованию пакетов, кластеров, насыпок на решетке в скоростном и геометрическом пространстве. Соответственно, сплошная фаза стремится к образованию пузырей и струй. Показано, что сначала частицы образуют пакет в скоростном, а потом уж в геометрическом пространстве. Причем, соотношение времен образования пакетов в этих пространствах равно 2 - 3.

Теперь пакетная теория тепло-массообмена получает свое физическое обоснование и расчетные зависимости.

То обстоятельство, что Df/dτ>0 во всем фазовом пространстве, говорит о принципиальной нестационарности гидродинамики кипящего слоя. Любые функционалы и операторы от f(…), любые характеристики слоя или периодичны или монотонно изменяются во времени (пневмотранспорт). Частота колебаний этих характеристик равна отношению ускорения свободного падения (9,81 м/с2) к натуральному масштабу скорости ожижающего агента.

2. Псевдоожиженный слой представляет собой систему облака изолированных частиц (внешняя задача обтекания) и множества насыпок на распределительной решетке (внутренняя задача, фильтрация). Эти насыпки двигаются по решетке в радиальном направлении, обмениваясь частицами с разреженной частью кипящего слоя. Натуральные линейные масштабы насыпок по радиусу и по высоте сильно зависят от параметров гидродинамики всей установки. Псевдоожиженный слой переходит в режим пневмотранспорта, как только высота насыпок на решетке становится нулевой.

3. Гидродинамика кипящего слоя оказалась крайне нетерпимой к размещению любых устройств и измерительных датчиков в объеме аппарата. Установлено, что любые непроницаемые для сплошной и/или твердой фазы поверхности «простреливают» весь слой (конечно, и для промышленных аппаратов). Дело в том, что граничные условия на всех таких поверхностях обладают дальнодействием, соизмеримым с диаметром аппарата. Формально, установка поверхностей в объеме слоя (например, трубчаток теплообменника) изменяет всю задачу, причем, очевидно, что это приводит к резкому увеличению числа критериев подобия. Моделирование физических процессов становится совершенно невозможным. Такое увеличение размерности процесса делает весь процесс непредсказуемым, а установки с аппаратами псевдоожиженного слоя не работоспособными.

4. Безразмерные искомые функции (обезразмеренные на свои натуральные масштабы) зависят от безразмерных кинематических и геометрических координат, от безразмерного времени и еще от 4-х критериев подобия для газового псевдоожижения или от 5-ти для жидкостного.

Вспоминая определение понятия подобных процессов и одно из достаточных условий подобия, понимаем, что для подобия гидродинамических полей кипящего слоя в двух разных аппаратах необходимо равенство критериев подобия. Попытка создать два таких аппарата в лабораторных условиях (см. [5]) увенчалась успехом, но чего это стоило! В лаборатории имелось несколько аппаратов разного диаметра, можно было дискретно менять коэффициент сопротивления газораспределительной решетки, имелся в наличии монодисперсный зернистый материал различного размера и плотности частиц, могли изменять гидродинамическое сопротивление линий до и после аппарата. Далее, с помощью компьютера определили такие два разных аппарата, у которых были бы примерно равны все 4-е критерия подобия. Измерение координаты меченой частицы в псевдоожиженном слое [2, 6] проводилось бесконтактно со слоем с абсолютной точностью, равной размеру частиц. В результате средние по времени поля порозности ε(z, r) в разных аппаратах кипящего слоя в безразмерных координатах совпали с неприличной (по словам проф. А.А. Гухмана) точностью.

Обращаем внимание на огромные трудности практического моделирования гидродинамики псевдоожиженного слоя. В основе этих трудностей находится большое число критериев подобия и мало возможностей добиться их одновременного равенства для разных аппаратов и разных зернистых материалов. Получаем очень важный вывод: теоретических запретов для моделирования гидродинамики кипящего слоя – нет. А практически перенести количественную информацию о полевых переменных от лабораторной установки на промышленную невозможно. Если же еще заниматься процессами переноса теплоты и массы в псевдоожиженном слое совместно с гидродинамикой, да еще если первые влияют на последнюю, то число критериев подобия станет еще больше.

5. Как теперь в свете новых знаний разработчику промышленных аппаратов кипящего слоя создавать эти аппараты? Можно предложить следующий алгоритм разработки.

Алгоритм разработки промышленного аппарата псевдоожиженного слоя

5.1. В качестве исходных данных рассматриваем химико-технологический регламент производства какого-то продукта. Из него берем технологическую схему и весь набор оборудования и арматуры. Рассчитываем гидравлические характеристики сетей до и после аппарата кипящего слоя. При этом надо знать, что технологи здесь не позволят особенно что-то менять.

5.2. Разрабатываем во всей детальности и подробности физико математическую модель процессов тепло-массобмена в аппарате кипящего слоя, считая, что поля скоростей фаз и давлений как бы известны. Здесь опять-таки надо озаботиться полнотой знаний о граничных условиях и добиться замкнутости математической модели.

5.3. Обработать тепло-массообменную модель методом теории натуральных масштабов, обезразмеривая скорость сплошной фазы и давление на пока неизвестные натуральные масштабы гидродинамики псевдоожиженного слоя. Таким образом, устанавливаем взаимосвязь масштабов процессов тепло-массообмена и гидродинамики кипящего слоя, а последние связаны с гидродинамикой всей химико-технологической системы. Здесь все логически верно: системой (здесь это ХТС) называем совокупность взаимодействующих частей.

5.4. Из всего множества натуральных линейных и временных масштабов определить (консультируясь с технологом), какие из них ответственны за качество целевого продукта на выходе из псевдоожиженного слоя. Увеличиваем этот натуральный масштаб времени в 5 - 10 раз, получаем время пребывания зернистого материала в объеме кипящего слоя, обеспечивающее совершение процессов тепло-массопереноса и, конечно, химических и фазовых превращений во всей их полноте вплоть до равновесия. Здесь же увеличиваем соответствующие линейные натуральные масштабы (по радиусу и по вертикали) тоже в 5 – 10 раз и получаем габариты самого кипящего слоя и, следовательно, объем слоя. Итак, мы обеспечили время и место совершения химических и фазовых превращений и процессов переноса. Напоминаем, что в натуральных масштабах пока фигурируют неизвестные гидродинамические параметры всей химико-технологической системы.

5.5. Как правило, технологи задают в своем регламенте дисперсный состав зернистого материала в псевдоожиженном слое (например, для катализа известен размер и плотность частиц катализатора). Тогда задаемся коэффициентом сопротивления ξP газораспределительной решетки, рассчитываем масштаб давления в кипящем слое и строим гидравлическую характеристику всей химико-технологической системы и ее частей (см. 5.1 и рис 1.). Зная из регламента объемный расход ожижающего агента, находим рабочую точку гидравлической сети. Строим линию В (см. рис. 1). Далее, подбираем характеристику вентилятора (по каталогам), мощность двигателя. Если эти показатели совпали с регламентными, то процесс подбора аппарата кипящего слоя заканчивается. Иначе, задаваться новым значением ξP и повторить процесс подбора. Зная величину ξP, по справочной литературе выбираем конструкцию газораспределительной решетки.

Не исключено, что этот итеративный процесс не сойдется с показателями из регламента. Здесь не надо стесняться, следует добавить гидравлических сопротивлений потоку технологического газа в объеме аппарата с псевдоожиженным слоем (до газораспределительной решетки и/или на выходе из аппарата). Конечно, это увеличит расход электроэнергии, но бесплатной надежности не бывает.

5.6. Аппарат псевдоожиженного слоя рекомендуем делать конической формы с расширением вверх с углом в вершине конуса около 150 - 200. Это, с одной стороны, обеспечивает безотрывный вход потока газа в объем слоя (меньше сопротивление, значит, меньше затраты электроэнергии), а с другой – позволяет управлять пылеуносом из кипящего слоя и обоснованно подбирать пылеулавливающую аппаратуру в химико-технологической системе.

5.7. Расчет дымососа на выхлопе в атмосферу и напорного вентилятора на входе в ХТС проводить с учетом обеспечения небольшого разряжения (10 – 15 мм. вод. ст.) в аппарате кипящего слоя. Это позволит ликвидировать струи раскаленного и запыленного, химически вредного газа в помещение цеха через неизбежные неплотности в аппарате псевдоожиженного слоя.

5.8. Озаботиться равномерностью подачи ожижающего агента под решетку аппарата кипящего слоя, что, в общем-то, очень не просто для аппаратов псевдоожиженного слоя большого диаметра.

Замечание. Лабораторные исследования технологов с целью определения возможности какого-то передела с применением псевдоожиженного слоя теперь уже выглядят стрельбой по цели с завязанными глазами. Действительно, берется какой-то пылесос, по его расходу рассчитывается диаметр сосуда, далее что-то (что есть в наличии) используется в качестве газораспределительной решетки. Зернистый материал берут тот, который будет применяться в промышленном аппарате. Над лабораторным аппаратом устанавливается какой-то циклон или фильтр, чтобы не глотать пыль в лаборатории, или вообще выход газа из аппарата кипящего слоя производят прямо в атмосферу. И начинают исследование, варьируя то, что могут: расход газа, его температуру, концентрации примесей, массу слоя, расход частиц из аппарата и т.д. Вероятность успеха будет нулевая.

Ну, пусть даже гиперповезло: при каком-то случайном наборе варьируемых параметров технологи оказались удовлетворенными. Как эту информацию перенести на будущий промышленный аппарат, да еще в составе пока неизвестной гидравлики будущей химико-технологической системы? Получается совершенно крамольный вывод: лабораторные исследования процессов в псевдоожиженном слое для создания промышленной установки - бесполезны, работоспособности будущей химико-технологической системы не будет!

Заключение. Псевдоожиженный слой в составе некоторой технологической установки является подсистемой всей химико-технологической системы и посему подвержен влиянию системных свойств последней. Это влияние определяется количественной, функциональной зависимостью натуральных масштабов кипящего слоя гидродинамической природы от первичных параметров самого псевдоожиженного слоя и от первичных параметров гидродинамики всей ХТС.

Перенос количественной информации о гидродинамике кипящего слоя и, следовательно, о полях температуры и концентраций в объеме слоя от одного аппарата на другой практически невозможен из-за обилия критериев подобия и малого числа степеней свободы для обеспечения их одновременного равенства.

Предложенный алгоритм подбора, разработки аппарата псевдоожиженного слоя в составе какой-то химико-технологической системы в сильной мере взаимно увязывает свойства подсистем (зернистый материал + псевдоожижающий агент + химическая технология обработки сред) с интегративными, системными свойствами всей технологической установки.

Список использованной литературы.

  1. Френкель Л.И., Кондуков Н.Б., Исследование профиля скоростей газа монодисперсном псевдоожиженном слое, М.: Химпром, №6, 1966 г., с. 418 – 427.
  2. Кондуков Н.Б., Корнилаев А.Н., Скачко И.М., Исследование параметров движения частиц в псевдоожиженном слое методом радиоактивных изотопов, Минск, ИФЖ, т. 6, № 7, 1963 г., с. 13 – 18.
  3. Gukhman A.A., Kondukov N.B., Prokhorenko N.N., The determinate model of solid phase motion in fluidized bed (Детерминированная модель движения твердой фазы в псевдоожиженном слое), Материалы 4 международной конференции по теплообмену, Канада, Версаль, 1970 г., 11 с.
  4. Гухман А.А., Зайцев А.А., Обобщенный анализ, М.:«Факториал», 1998 г., с. 303.
  5. Прохоренко Н.Н., Метод натуральных масштабов (приложение к научно-исследовательским и инженерным задачам), Калуга: из-во Н.Ф. Бочкаревой, 2006 г., 186 с.
  6. Прохоренко Н.Н., Тихомиров С.А., Методика определения фазовых переменных твердой фазы в дисперсных потоках, Минск, ИФЖ, т. 38, № 4, 1984 г., с., 625 – 630.

Наверх

Скачать статью в формате Word