В предыдущей статье [1] в качестве примера моделирования была рассмотрена гидродинамика псевдоожиженного слоя. Было показано, что аналитическое, численное или экспериментальное решение задачи оптимизации и конструирования аппарата невозможно и предложена радужная перспектива «делать» ту гидродинамику, которая устроит химиков-технологов. В настоящей статье рассматриваются процессы переноса субстанций в некоторой трех-фазной и многокомпонентной среде с выходом на конструирование аппарата.

Понятие моделирования физических процессов.

Понятие «моделирование» имеет, по крайней мере, два смысла. Первый – построение физико математической модели процессов в объекте. Второй – перенос количественной информации с малой установки (модели) на большую (промышленную). В настоящей работе будут использоваться оба смысла. В процессе разработки физико математической модели физических процессов придется широко применять феноменологию: я так вижу и только господин Опыт мне судья. Так же как и в [2], отказываемся от аналитического, численного или экспериментального решения задачи оптимизации процессов переноса и задачи конструирования аппарата. Количественную информацию будем получать, применяя теорию натуральных масштабов.

Моделирование процессов переноса в многофазных и многокомпонентных системах с помощью натуральных масштабов

Описание задачи. Один студент, обучающийся в магистратуре на кафедре «Процессы и аппараты химической технологии» в МИТХТ им. М.В. Ломоносова, одновременно работал в фирме, производящей некоторый продукт. Спрос на этот продукт большой и руководство возмечтало увеличить производительность действующей установки. В фирме господствовали химики-технологи и менеджеры, и посему никто не знал, как это сделать. Храбрый студент решил взять тему магистерской диссертации, посвященную усовершенствованию действующей установки.

Технология получения продукта состояла в следующем. В цилиндрический аппарат заливалась вода, снизу барботировали пузыри хлора, сверху как-то распределяли и вводили вещество в виде зернистого материала. Технологи решили применить турбинную мешалку, чтобы дробить крупные пузыри и активно перемешивать раствор. В объем аппарата ввели теплообменник, чтобы температура среды не превышала какой-то величины. Оператор следил за температурой в реакторе и включал теплообменник только тогда, когда температура превышала заданную величину. Весь процесс пробирочно-периодический.

Итак, система состоит из трех фаз: паро-газовые пузыри, твердые частицы зернистого материала и сплошной фазы – раствора, содержащего много компонент различных веществ.

Прежде всего, мы потребовали от студента количественной информации о химизме: перечень маршрутов химических реакций, указания, какие реакции идут последовательно, а какие параллельно; константы скоростей прямых и обратных реакций и их зависимостей от условий ведения процессов, тепловые эффекты реакций, концентрации веществ в состоянии насыщения в зависимости от температуры. Уже здесь столкнулись с неопределенностью. На вопрос, как определялись маршруты химических реакций, получили ответ, что это экспертное решение специалиста – химика.

С такой ситуацией автор сталкивается уже не первый раз. Например, мы получили заказ на разработку установки пиролиза угля Канско–Ачинского месторождения. Наш химик-технолог после некоторых размышлений назначил какие-то 4 реакции. Для трехкомпонентной системы Н2О, С и О2 по справочнику могут идти 17 реакций. После настойчивых расспросов, почему именно эти 4, а не другие 8, получили ответ: «Я так чувствую!». Это же надо! На его «чувствах» будем разрабатывать сложную пожаро-взрывоопасную установку! Его «чувства» будут определять расход и состав технологического газа, тепловыделения, температуру, теплофизические свойства и т.д. Аналогичная ситуация оказалась при общении с химиком-технологом ВВ. Он тоже что-то там чувствует, когда определял маршруты реакций. Короче говоря, химическая технология это не наука, а искусство! Интересно, что будет дальше: старички – эксперты – химики активно вымирают, а сегодняшние молодые дарования, после окончания химико-технологического вуза тоже будут что-то чувствовать? Но деваться некуда. Приходится применять то, что дают!

Применение натуральных масштабов для конструирования установки. Всю систему разбиваем на части (феноменология): облако твердых частиц, облако пузырей с хлором, сплошная фаза – раствор. Все части находятся в одном и том же объеме и как-то взаимодействуют друг с другом. Применять мешалку не будем, памятуя, что использование любых механических устройств резко уменьшает надежность любой установки.

Характерной особенностью всех процессов переноса в нашей системе является наличие одного и того же механизма переноса – молекулярного. Действительно, размер дискретов (частиц и пузырей) небольшой, скорости движения их в растворе тоже малые. Следовательно, число Рейнольдса невелико, конвективного переноса с поверхности дискретов не будет, обтекание дискретов раствором – безотрывное. Следовательно, процесс переноса субстанций осуществляется или диффузией, или теплопроводностью, или вязкостным механизмом. Ну, а внутри частиц и пузырей механизм переноса теплоты и массы предполагаем тоже молекулярным.

Алгоритм разработки математической модели физических процессов задачи.

1. Рассматриваем одну единственную частицу в бесконечном объеме раствора. Прежде всего, займемся движением ее. Особенность этого движения в том, что частица растворяется с поверхности, т.е. меняет свою массу и размер. Как в теоретической механике, записываем равенство силы инерции сумме всех действующих сил – силы тяжести с учетом эффекта Архимеда и силы лобового сопротивления движению. Запишем начальные условия для этой задачи. Заметим, что уже здесь налицо взаимодействие частей системы – движение частицы зависит от квадрата относительной скорости ее в растворе.

Далее, для одной частицы записываем уравнение Фурье-Кирхгофа теплопереноса в объеме частицы с какими-то начальными условиями. Граничные условия этой задачи – условия третьего рода с учетом теплоты растворения. Коэффициент теплоотдачи определяем из условия, что число Нуссельта равно 2.

Затем записываем условия массообмена на поверхности твердой частицы: поток массы вещества (процесс растворения) от поверхности в раствор равен произведению коэффициента массоотдачи (Нуссельт диффузионный равен 2) на разность концентраций. На поверхности частицы предполагаем, что реализуется состояние насыщения вещества частицы в растворе при какой-то температуре. Этот поток массы определяет изменение массы частицы и изменение ее размера. И здесь видим взаимодействие частей системы: поток массы с поверхности определяется концентрацией вещества далеко от частицы.

2. Теперь беремся за другой дискрет – пузырь с паро-газовой смесью. Особенность аппарата производства хлора такова, что хлор обязательно содержит какое-то количество паров воды.

Движение пузыря стандартно описываем, как это делали для твердой частицы и тоже с учетом переменной массы и размера. Дело в том, что хлор растворяется на границе пузыря и переходит в раствор, а пары воды или конденсируются, или испаряются с поверхности пузыря. Термодинамика на границе будет определять эти «или».

Формализуем процесс теплопереноса в объеме пузыря в виде уравнения Фурье-Кирхгофа (без конвективного члена), запишем начальные условия. Граничные условия – снова третьего рода с учетом теплоты растворения хлора в растворе и тепловых эффектов из-за фазового перехода паров воды.

Массоперенос в объеме пузыря опишем опять-таки с помощью уравнения Фурье-Кирхгофа (без конвективного члена), запишем начальные условия. Граничные условия и для паров воды и для хлора – снова третьего рода. Коэффициент массоотдачи определим из условия – диффузионный Нуссельт равен 2.

3. Беремся за математическую формализацию процессов переноса во всей системе – сплошная фаза (раствор из многих компонентов) + облако частиц + облако пузырей. Объемную штучную концентрацию дискретов определяем исходя из производительности по хлору, количеству твердой фазы и геометрии аппарата.

Гидродинамику в объеме аппарата будем описывать с помощью уравнения Навье-Стокса с конвективным членом (для перестраховки). Влияние облаков дискретов учтем в виде внутренних источников/стоков количества движения. Наверное, понятно, что движение паро-газовых пузырей является активным возмущением на поле скорости и давления в сплошной среде, а облако частиц будет тормозить это возмущение. Запишем начальные, затем и граничные условия: они тривиальные.

Формализация процесса переноса массы осложняется многокомпонентностью: для каждого компонента в растворе приходится писать свое уравнение переноса (аналог уравнения Фурье – Кирхгофа с конвективными членами), свои начальные и свои граничные условия. Правые части уравнений переноса массы компонента содержат свои источники/стоки вещества от облаков дискретов и интенсивности химических превращений по всем маршрутам реакций (вот где понадобилась количественная информация о химизме превращений и «чувства» химиков).

И, последнее, запишем уравнения теплопереноса в системе. Это стандартное уравнение Фурье – Кирхгофа с конвективными членами. В правой части этого уравнения записываем внутренние источники/стоки теплоты, обусловленные и растворением веществ, и интенсивностью химических превращений (опять понадобились «чувства» химиков), и теплообменом с облаками дискретов. Снова аккуратно записываем начальные и граничные условия этой задачи.

Если пересчитать число искомых функций и число уравнений, то мы добились замкнутости математической модели физических процессов, одного из необходимых условий корректности задачи. Учет всех (?) мыслимых явлений, механизмов и обстоятельств в физических представлениях позволяет говорить о физической достоверности и полноте рассмотрения, хотя платить за это приходится громоздкостью математической модели. С точки зрения системного подхода взаимодействие частей системы четко формализовано в уравнениях переноса субстанций и их граничных условиях.

Итак, получили систему нелинейных краевых задач (несколько десятков), смотреть на нее просто страшно, если где-то в заднем мозге сидит мечта о точном решении аналитически или численно. Наш студент–магистр, воодушевленный знанием двух действий арифметики (умножить, разделить – да здравствует ЕГЭ и мать его г. Фурсенко), контролируя себя теорией размерностей, получил выражения всех натуральных масштабов через первичные параметры задачи и величины самих масштабов. Затем мы долго осмысливали физический смысл каждого масштаба по его происхождению и построили таблицу масштабов со столбцами: физический смысл, обозначение в математической модели, размерность, величина. Надо было видеть изумление на лице студента-технолога, его бровки домиком и губки куриной гузкой: число масштабов – несколько десятков, число одноименных (линейных, временных и искомых функций) масштабов тоже десятки. Временные масштабы имели спектр от 10-3 секунд до 10+3 секунд. Каждый процесс переноса характеризовался своим линейным и временным масштабом.

Из опыта эксплуатации действующей установки студент увидел количественное совпадение величин некоторых параметров с расчетными по математической модели масштабами. Это говорит в пользу адекватности разработанной математической модели.

Далее, мы начали конструировать аппарат, в котором происходят все наши процессы. Сначала напомним определение натурального масштаба. Натуральным масштабом аргумента задачи называется такая его протяженность, на которой искомая функция меняется существенно. Существенно – означает изменение относительной искомой функции в е = 2,73 раза, если задача линейная. Для нелинейных задач – изменение на величину натурального масштаба самой функции.

Следствия из определения.

  1. Чем меньше натуральный масштаб аргумента какого-то процесса, тем интенсивнее этот процесс.
  2. Чем больше натуральный масштаб искомой функции, тем интенсивнее этот процесс.
  3. На расстояниях в 10-1 от натурального масштаба аргумента (линейного или временного) искомая функция меняется несущественно.
  4. На расстояниях в 10+1 от натурального масштаба аргумента искомая функция изменится во всей своей потенциальной полноте (до равновесия).
  5. Пункт 3 по существу определяет физически малый объем (его дифференциал) и дифференциал аргументов задачи. Следовательно, именно физические представления, формализованные в виде математической модели физических процессов, диктуют размер физически малого объема и аргументов. Никакой свободы и демократии (отсебятины)! Написал модель – определил пусть по умолчанию дифференциалы задачи. Это очень серьезный и значимый вывод при анализе результатов применения метода натуральных масштабов.

Теперь начинаем само конструирование.

1. Из таблицы натуральных масштабов следовало, что масштаб времени растворения частиц зернистого материала в растворе составляет 10+3 с. и много больше всех остальных масштабов времени. Следовательно, разумно вести процесс производства целевого продукта в двух разных аппаратах. В одном растворять твердую фазу и доводить концентрацию этого компонента до состояния насыщения. Причем, делать это максимально эффективно. Далее, этот насыщенный раствор через емкость переводить во второй аппарат для совершения необходимых химических превращений. Такой подход позволяет разорвать связь медленного процесса растворения твердой фазы и остальных превращений в реакторе. Надежность всей установки только возрастет.

2. Из рассмотрения процессов переноса массы в пузыре с хлором, получен натуральный линейный масштаб, определяющий глубину влияния граничных условий на поле концентрации хлора. Следовательно, радиус пузыря на входе в аппарат разумно сделать равным (3 - 5) указанного масштаба.

Определение размера пузыря

Рис. 1. Иллюстрация к определению размера пузыря, δ* - натуральный линейный масштаб.

Делать радиус пузыря больше указанной величины означает увеличивать время растворения хлора. Делать его меньше – не надо, т.к. интенсивнее процесс не будет.

3. Из рассмотрения процессов переноса массы в окрестности пузыря получен свой линейный масштаб, определяющий глубину влияния растворения хлора вглубь раствора. Следовательно, ввод пузырей в аппарат должен отвечать условию: расстояние между пузырями по горизонтали и по вертикали должно быть равным 2*(3 - 5) упомянутого масштаба. Иными словами, диффузные слои должны касаться (см. рис. 2). Таким образом, масштабы определяют конструкцию газораспределения, т.е. ввода пузырей.

Определение пространственного расположения пузырей в объеме аппарата

Рис. 2. Иллюстрация к определению пространственного расположения пузырей в объеме аппарата, δ* - натуральный линейный масштаб.

Зная расход хлора и расстояние между пузырями по горизонтали, находим диаметр аппарата.

4. Из рассмотрения процесса растворения хлора оказалось, что масштаб времени этого процесса в разы превосходит масштабы времени других процессов переноса, в том числе времена химических превращений. Растворение хлора лимитирует все остальные процессы. Следовательно, время пребывания газового пузыря в объеме аппарата должно быть не меньше (3 - 5) масштабов времени растворения хлора. С другой стороны, рассматривая процесс движения газового пузыря в объеме раствора, получили натуральные масштабы времени и перемещения. Следовательно, несложно найти натуральный масштаб скорости пузыря (оказалось, что это скорость витания) и отсюда найти высоту аппарата, как произведение величины времени пребывания на масштаб скорости (теперь можно сдавать физику по ЕГЭ и получить 100 баллов).

5. Аналогично конструируем аппарат растворения частиц зернистого материала. Из рассмотрения процесса переноса массы вокруг частицы получаем натуральный линейный масштаб, который характеризует глубину влияния частицы на поле концентрации вещества в растворе. Следовательно, распределение частиц по поверхности раствора на входе в аппарат и в объеме аппарата должно отвечать условию – расстояние между частицами по горизонтали и по вертикали в растворе равно (3 – 5) указанного линейного масштаба. Отсюда, зная расход твердой фазы, находим диаметр аппарата для растворения.

Вертикальный размер этого аппарата находим, так же как и для реактора.

6. Теплоперенос между аппаратом для растворения и реактором можно организовать следующим образом. Теплоту экзотермических реакций в реакторе направляем на эндотермику растворения твердой фазы. В оба аппарата погружаем теплообменники с циркулирующим теплоносителем. Разумно организовать систему автоматического поддержания постоянства температуры в реакторе. Но этим должны заниматься автоматчики (только не технологи).

Расчет теплообменников, выбор геометрии теплообменных поверхностей следует поручить теплофизику, который может ознакомиться с работами В.А. Кирпикова и его учеников (Москва, МИХМ, ~ 1963 – 1970 г).

Здесь показано достижение основной цели работы специалиста по процессам и аппаратам – обеспечить место и время для всех химических и фазовых превращений. Оптимальность решений в максимально возможной интенсивности процессов переноса. Лучше не будет ни при каких других обстоятельствах.

По существу все готово для создания непрерывного производства, можно отказаться от периодичности, от пробирочного подхода химиков (см. рис. 3).

Вариант технологической схемы установки

Рис. 3. Вариант технологической схемы.

Обращаем внимание, наши рекомендации носят смысл «ЧТО ДЕЛАТЬ», а уж «КАК ДЕЛАТЬ» пусть решают инженеры (только не технологи, это не их работа).

Откровение. Многочисленные примеры успешного применения метода натуральных масштабов в научной и инженерной практике по существу основаны на некотором нонсенсе. Действительно, сама процедура получения выражений натуральных масштабов через первичные переменные задачи основана на порядковой математике. Т.е. две величины называются равными, если они отличаются в 2, 3, …. 9 раз. Однако, прямой эксперимент, в котором измеряется искомая функция на расстояниях в натуральные масштабы, показывает различие измеренной величины и расчетной величины натурального масштаба искомой функции в 20% - 30%. И так было несколько раз, для самых разных процессов. Это уже не случайность, а необъясненная закономерность.

Автор неоднократно, беззастенчиво приставал к демиургу обобщенного анализа, проф. А. А. Гухману, требуя объяснений такого совпадения. Но профессор что-то мямлил, уворачивался от ответа или не хотел думать над таким пустяком, хотя сам удивлялся этому обстоятельству. Так и осталась эта тайна нераскрытой, что совсем не мешает автору храбро и успешно конструировать химические реакторы и утилизировать продукты метаболизма химиков-технологов, которые так же храбро и безответственно создают установки.

Предварительные итоги.

  1. Математическую модель физических процессов не надо уродовать во имя индивидуальной «решабельности» задачи. Напротив, разумно учитывать все мыслимые эффекты, явления, физические и химические процессы во имя достоверности и полноты математической модели.
  2. Натуральные масштабы несут огромную количественную и качественную информацию. Сравнение величин одноименных масштабов позволяет принимать ответственные решения: какие эффекты значимы, а какие несущественны. Теперь можно обоснованно и корректно упрощать математическую модель физических процессов.
  3. Предложенный метод описания процессов переноса в многофазной и многокомпонентной системе в сочетании с методом теории натуральных масштабов позволяет создавать аппараты с максимальной интенсивностью процессов переноса. Отсюда следует минимальная материалоемкость, минимальное энергопотребление и минимальная (с точки зрения термодинамики) себестоимость целевого продукта.
  4. Предложенный метод моделирования процессов переноса сразу можно применять для оптимизации и конструирования аппаратов, широко применяемых в промышленности и технологиях разделения – выпарка, ректификация, экстракция и выщелачивание, кристаллизация и коагуляция в сочетании с осаждением, абсорбция и адсорбция, сушка. Этому методу подвластны процессы грануляции растворов и плавов в гранбашне, грануляция и покрытие гранул в аппаратах с псевдоожиженным слоем и форсунками.

Проблема моделирования многофазных и многокомпонентных систем с точки зрения переноса количественной информации от модели на другой объект.

Напомним определение понятия (по А.А. Гухману). Два объекта называются подобными, если безразмерные искомые функции (любой физической природы) от безразмерных аргументов тождественны. Отсюда получаем следствие: необходимым и достаточным условием подобия является тождественность корректных математических моделей объектов с точностью до обозначений и равенство величин критериев подобия.

Может быть, профессионалы в области процессов и аппаратов химических технологий обратили свое внимание на то, что подавляющее число критериальных справочных зависимостей содержат не более 2 – 3 критериев подобия. В чем же дело? Почему не больше? Ответ по умолчанию дают экспериментаторы: чем больше критериев подобия, тем больше число экспериментов надо провести, чтобы получить обобщенную зависимость. Действительно, пусть теоретик требует заниматься N критериями подобия. Экспериментатор тогда должен разбить область значений каждого критерия, например, на 10 интервалов и провести 10N опытов. А каждый опыт это время, люди, ресурсы материальные и финансовые, нужно помещение, оборудование. С большим напрягом экспериментатор может сделать 100 –150 опытов, но дальше дух вон. Вот вам простой ответ на поставленный вопрос. Вот почему, в частности, погрешность определения коэффициента теплоотдачи при кипении и конденсации равна 100% - 150%. В этой критериальной зависимости фигурируют 2 критерия, а по Кутателадзе [3] требуется минимум 7. Таково происхождение информационного шума, его амплитуда становится соизмеримой с расчетной и реальной величиной.

Возвращаясь к переносу количественной информации от модели к другому объекту для многофазных и много компонентных систем, по нашей химико физико математической модели получилось несколько десятков критериев подобия с таким же по порядку числом первичных параметров. Практически о каком-то подобии процессов переноса в двух разных реакторах говорить бессмысленно. И это не недостаток обобщенного анализа, а великое благо, предохраняющее от бессмысленных затрат ресурсов. Разумно сразу разрабатывать и создавать в «железе» промышленный аппарат без традиционных промежуточных стадий. Они не несут никакой информации, хотя позволяют долго получать пусть нищенскую зарплату и редкие бонусы.

Прямым доказательством такого утверждения служит следующий случай. В процессе преподавательской работы автор должен организовывать ознакомительную инженерную практику на каком-либо химическом предприятии для студентов 3 курса МИТХТ им. М. В. Ломоносова. Во время проведения этой практики, пока студенты слушали специалистов фирмы и глазели на работу действующих технологических установок, нас пригласил на встречу генеральный директор ООО «...» (не будем уточнять какого ООО). После угощения великолепным кофе завязалась интересная беседа. В частности, генеральный директор (кстати – доктор химических наук) пожаловался. Его сотрудники, технологи создают в «железе» установки, не проводя никаких расчетов. Кухонные представления лежат в основе их созидания. Далее, директор комментировал процесс создания одной установки. После пробирочных исследований технологи создают микроустановку, (это называется малая химия) и долго ее отлаживают, добиваясь позитивного результата. Затем создается пилотная установка на небольшую производительность. Здесь технологи пытаются использовать результаты, полученные на предыдущей установке, но безуспешно. Приходится ощупью отлаживать теперь уже пилотную установку. Наконец, приступают к созданию опытно-промышленной установки и снова пробуют использовать количественную информацию, полученную уже на пилотной установке, и опять безуспешно. Теперь ощупью отлаживают уже опытно-промышленную установку. Общие затраты времени – 1 год + 2 года + 2 года = 5 лет. Материальные и финансовые затраты огромны, а прибылей для ООО нет, дивидентов нет, акционеры злобятся. Генеральный директор удивляется: почему бы сразу не создавать опытно-промышленную установку, зачем создавать малые, промежуточные?

Можно с превеликим удовольствием согласиться с директором, только причины согласия другие. Первая причина – воплощать установки в «железе» должны не химики-технологи, а специалисты по процессам и аппаратам химических технологий. Вторая причина – генеральный директор должен создать в своем ООО команду процессщиков, которые понимают, что многофазные и многокомпонентные системы не моделируются, а посему надо сразу создавать опытно-промышленную установку.

Невозможно удержаться и не рассказать о другом примере храбрости технологов. Олигархов нефте-газодобычи в Коми республике совсем замучили «зеленые». Оказалось, дешевле принять меры по утилизации отходов бурения, чем платить огромные штрафы. Дана команда и выделены какие-то финансы. Вариантов технологий оказалось несколько. Некоторая команда технологов выбрала технологию, в которой применяется коагуляция глины в буровом растворе и последующее осаждение гранул. Доморощенные молодые дарования – технологи браво организовали первый передел технологии. Именно: в емкость заливается исходный отработанный буровой раствор и далее вводится примерно 2 ведра раствора коагулянта. Включают установку и, кто бы мог представить? через 15 – 20 минут наступала внезапная остановка, забились шламом фильтры.

Храбрые технологи настолько ни в чем не сомневаются, что сразу захотели тиражировать свой перл и расставить установку по всем промыслам. Бедные, бедные олигархи!

Совсем несложные расчеты, вполне доступные студентам-технологам 3 курса, показали, что время наступления равномерной концентрации 2 ведер коагулянт аж в 40 тоннах раствора равно 10 лет. Следовательно, не будет никакой коагуляции, нечему осаждаться, процесса выделения мелкодисперсной глины из бурового раствора не будет.

Эти примеры показывают, что «Кесарю кесарево», а технологам - только технологический регламент с вероятностью работоспособности технологии [4] не меньше 0,95. При разработке регламента разрешаются любые фантазии, проявления талантов и «чувств», но под жестким контролем качества разработки с его количественной мерой в виде вероятности работоспособности технологии. Далее технологи могут отдыхать, а воплощать технологию в «железе» должны процессщики на основе регламента. Химико-технологическую систему должна создавать система из взаимодействующих специалистов. Кажется, это совершенно тривиальный вывод, но вот почему-то его надо доказывать.

P.S. Нечаянно автор оказался «впереди планеты всей». В статье [5] А.С. Кузьминова «Сотрудничество российских организаций с Международным Энергетическим Агентством» представлен перечень актуальных исследовательских программ МЭА. В таблице этого перечня на 21 позиции стоит «Изучение многофазовых потоков». Комментарий излишен.

P.P.S. Сейчас у автора этой статьи болезненно вибрирует другая шлея под хвостом: прессование зернистых материалов. Предложенный выше метод моделирования не работает!

Литература

  1. Прохоренко Н.Н., Опыт моделирования процессов переноса в многофазных и многокомпонентных системах, «Энергия», М., из-во «Наука»
  2. Прохоренко Н.Н., Метод натуральных масштабов, приложение к научно-исследовательским и инженерным задачам, Калуга, из-во Н.Ф. Бочкаревой, 2006 г, 186 с.
  3. Гухман А.А., Зайцев А.А. Обобщенный анализ, М. «Факториал», 1998 г, 303 с.
  4. Прохоренко Н.Н., Метод анализа работоспособности химико-технологических линий, ТОХТ, т. ХХ111, 1989 г, № 1.
  5. Кузьминов А.С., Сотрудничество российских организаций с Международным Энергетическим Агентством, «Энергия», М., из-во «Наука», № 2, 2011 г.

Наверх

Скачать статью в формате Word