Предлагается рассмотрение нескольких задач переноса субстанций (теплоты, массы и количества движения) в многофазных и многокомпонентных (МФМК) системах. Показывается феноменология построения физико математической модели и утверждается невозможность получения ни аналитического, ни численного, ни экспериментального количественного решения задач. Показывается, что существует метод получения количественной информации о процессах переноса, которой более чем достаточно для решения проектных и оптимизационных задач.

Понятие моделирования имеет несколько смыслов:

  1. построение корректной и адекватной математической модели, соответствующей каким-то физическим представлениям;
  2. перенос количественной информации от одного объекта (например, лабораторной установки) на другой (на промышленный аппарат), то есть масштабирование. В этой работе будем говорить и о том, и о другом смысле моделирования.

Конечной целью всякого количественного исследования процессов переноса в объекте является определение того комплекта первичных параметров, который обеспечивает оптимальный (по какому-то критерию) режим течения процессов. Далее по этому комплекту разрабатывается эскизный проект и направляется конструктору для разработки сборочного чертежа и подсборок аппарата. Моделирование, как построение физико математической модели процессов переноса субстанций, является самым первым этапом количественного анализа.

Существует огромный опыт построения и применения физико математических моделей для континуальных (сплошных) сред. Эти модели по существу представляют собой запись законов сохранения в какой-то системе координат. В основе этой записи находится теорема Остроградского – Гаусса, которая разрешает перейти от записи закона сохранения в интегральной форме к записи в дифференциальной форме. Согласно этой теореме такой переход корректен, если подинтегральные функции непрерывны. Для многофазных систем это условие не выполняется.

Записывая законы сохранения в дифференциальной форме, обычно не интересуются актуальной величиной физически малого объема. Просто по умолчанию считают, что это какая-то малая величина. Наиболее строгие к себе исследователи подчеркивают, что величины dx, dy, dz много больше длины свободного пробега молекул газа и/или много больше размера самих молекул. Дело в том, что никто не хочет заниматься рассмотрением движения микроэлементов среды, все желают заниматься средними значениями параметров. А вот что такое «среднее», каков прием усреднения, «континуальщиков» не интересует. Наибольшую озабоченность в этой проблеме проявил, пожалуй, Л. Г. Лойцянский [1].

Для многофазных систем (псевдоожиженный слой, суспензии, эмульсии, барботаж, пневмотранспорт) ситуация совершенно отчаянная: как записывать законы сохранения? Здесь автора много лет назад успокоил М. А. Гольдштик (Новосибирск). Он заявил, что никаких серьезных научных физико математических оснований для описания многофазных систем нет. Следовательно, придется призвать на помощь феноменологию, а результаты проверять с помощью господина Опыта. После такого напутствия автор вдохновился и «пустился во все тяжкие».

Сразу возникла проблема – как получать количественный результат, доступный проверке экспериментом. Действительно, будущая физико математическая модель для многофазных и многокомпонентных объектов представляет собой систему многих нелинейных дифференциальных уравнений в частных и полных производных с какими-то условиями единственности. Смысл «нелинейности» сразу ликвидирует стремление получить аналитическое решение.

Дело в том, что математики очень «храбрые» в области линейных задач, а при встрече с нелинейными начинают разводить руками и надувать щеки.

Одновременно, для нелинейных задач, как правило, нет доказательств корректности, как это делается для линейных уравнений математической физики. Иными словами, проводить численный эксперимент придется «на авось», так как нет уверенности, что решение существует, что оно единственно и что решение слабо зависит от малых возмущений задачи. А численное решение чисто технически будет возмущать задачу. Кроме того, при численном решении необходимо квантовать пространственные и временные переменные. Ну, и с каким шагом это делать? А что такое погрешность? Сколько? С какой точностью требовать сходимость численного решения? Короче, 1000 вопросов и ни одного ответа.

Пусть нам повезло: получили численное решение (какое-то!). Далее следует проверить адекватность модели на эксперименте, т.е. измерить какие-то параметры процесса и сопоставить их с численным решением. Опять возникают свои 1000 вопросов: какими должны быть датчики по своим размерам и инерционности, каковы требования к вторичной аппаратуре, как расставить датчики в геометрическом пространстве, какова погрешность измерения?

Пусть нам еще раз повезло (господи, сколько можно?) – что-то смогли измерить и получили количественное совпадение численного решения с экспериментальными данными в пределах погрешности опыта. Можно теперь с большой вероятностью утверждать, что физико математическая модель адекватна действительности, и приступить к оптимизации и проектированию. Ищем тот набор первичных параметров процесса переноса, который обеспечит оптимальный режим по какому-то критерию.

Ну, и как это делать? Действительно, число первичных параметров, как правило, больше 10. Можно весь диапазон изменения каждого параметра разбить на 10 интервалов и получить 1010 распечаток с решениями задачи. Только представьте себе кипу бумаги с графиками и таблицами. Ее обозреть невозможно.

Можно провести поиск оптимального комплекта простым перебором на компьютере, но какова будет длительность поиска и объем памяти компьютера? Снова тупик.

Единственный выход из этих тупиков – отказ от стремления к точному количественному решению. Не надо ничего решать! Тогда не надо уродовать физическое содержание задачи во имя «решабельности». Наоборот, следует в математической модели учитывать все мыслимые эффекты и явления, а уж потом разбираться, какие из них существенные, значимые, а какие – нет. Инструментом получения количественной информации является обобщенный анализ [2], точнее, его часть – метод натуральных масштабов [3]. Величины натуральных масштабов и аргументов, и искомых функций, их зависимость от первичных параметров физико математической модели и будут той количественной информацией, посредством которой можно решать задачу оптимизации и разработки эскизного проекта.

Технически алгоритм получения выражений натуральных масштабов через первичные параметры задачи очень прост (умножить – разделить, вынести за знак оператора постоянную величину). Далее построить систему определительных уравнений, из которой и найти выражения для натуральных масштабов искомых функций и аргументов задачи. Зато осмысление физики каждого масштаба, его происхождения очень не просто. Приходится отслеживать качество физических явлений, эффектов, которые фигурируют в математической модели.

Моделирование многофазных и многокомпонентных систем невозможно без применения системного подхода. Придется весь изучаемый объект (аппарат) объявить макросистемой, погруженной в некоторую внешнюю среду. Потоки энергии и масс из этой среды, их параметры объявить внешними воздействиями, аргументами всей задачи. Выходные потоки субстанций объявить искомыми функциями.

Системный подход рассматривает макросистему как совокупность взаимодействующих частей. Как разбивать систему на части – решает исследователь (феноменология). Опыт применения системного подхода убеждает, что свойства системы отнюдь не равны сумме свойств частей. Оказывается, система генерирует свои свойства (их называют в системном анализе интегративными), которых нет ни у одной из частей системы. Поиск, определение интегративных свойств системы и есть главная проблема системного подхода.

Демонстрацию опыта математического моделирования многофазных и многокомпонентных систем начнем с рассмотрения гидродинамики псевдоожиженного слоя (ПС). Именно гидродинамики, так как придерживаемся научной догмы: гидродинамика первична, все остальные процессы переноса вторичны. Прямым подтверждением истинности этой догмы является практика пусковых работ промышленных установок. Как только удается отладить гидродинамику в аппаратах и гидравлику установки, так установка сразу выходит на проектный, номинальный режим работы. Главная забота операторов установки в процессе эксплуатации – гидродинамика и гидравлика, правда, не все операторы это понимают. Остальные процессы переноса (теплоты и массы) послушно идут сами собой.

Разбиваем кипящий слой на части. Микроэлемент системы – частица зернистого материала. Следующая часть – облако частиц в разреженной части псевдоожиженного слоя и насыпки частиц на решетке аппарата. Последние то образуются, то исчезают, то перемещаются по газораспределительной решетке. При этом происходит обмен частицами между разреженным облаком частиц и насыпками. Следующая часть псевдоожиженного слоя – поток ожижающего агента, газа или жидкости. Такое разбиение кипящего слоя на части получено из визуального наблюдения за слоем через прозрачную стенку аппарата.

Гидродинамика диктует свои искомые функции: 1) поле скорости и давления сплошной среды в зависимости от времени; 2) поле концентрации частиц в геометрическом и скоростном пространстве и тоже в зависимости от времени. Аргументы – пространственные координаты x, y, z, время τ. Для частиц зернистого материала - еще скорость поступательного движения относительно неподвижной системы координат.

Моделирование процессов переноса в псевдоожиженном слое начнем с описания движения микроэлемента системы. Движение одиночной частицы описываем уравнениями теоретической механики. Частица – материальная точка, и сила инерции равна сумме всех действующих сил. Очевидно, что действует сила тяжести (с учетом эффекта Архимеда) и сила сопротивления движению в сплошной среде (внешнее обтекание). Уже здесь видно взаимодействие частей кипящего слоя: сила сопротивления определяется квадратом относительной скорости частицы (нелинейность). И еще она зависит от концентрации соседних частиц в геометрическом пространстве. Явная зависимость силы сопротивления от скорости частицы свидетельствует о не консервативности всей системы псевдоожиженного слоя, о каких-то потенциалах можно не мечтать.

Движение частиц в кипящем слое будем описывать, как это делают в статистической физике, с помощью уравнения Стефана-Больцмана (опять феноменология). Основанием этому является очевидная случайность координаты и скорости любой частицы. Это уравнение записываем для одной представительной частицы, для одночастичной функции плотности распределения вероятностей случайной координаты и скорости частицы. Уравнение Стефана-Больцмана записываем с нулевой правой частью. Основанием этому является предположение, что в разреженной части соударений нет и в насыпках тоже. Коэффициенты уравнения Стефана-Больцмана любезно предоставляют уравнения движения микроэлемента псевдоожиженного слоя (взаимодействие частей системы).

Очевидно, что поля концентраций частиц в геометрическом пространстве и в пространстве скоростей – это функционалы от одночастичной функции плотности распределения вероятностей.

Поле скорости и давления в сплошной фазе для разреженной части псевдоожиженного слоя описываем с помощью уравнения Навье-Стокса, а в правой части записываем внутренние источники / стоки количества движения (феноменология). Эти источники / стоки обусловлены взаимодействием потока сплошной фазы с облаком частиц.

Движение сплошной фазы в насыпках частиц на решетке аппарата описываем с помощью уравнений фильтрации. При этом озаботимся записью условий непрерывности полей давления и скорости потока сплошной фазы на геометрической поверхности насыпок. Подчеркнем, что геометрия насыпок определяется неким функционалом от одночастичной функции плотности распределения вероятности координаты и скорости представительной частицы.

Итак, с большим трудом добились замкнутости системы уравнений в математической модели: число уравнений сделали равным числу искомых функций. Напомним, что замкнутость математической модели является одним из необходимых условий корректности задачи.

Формализация граничных условий соответствует простым физическим соображениям: непроницаемость боковых стенок аппарата для сплошной и дискретной фазы, непроницаемость газораспределительной решетки для частиц и предположение абсолютно упругого соударения с твердыми границами аппарата.

В процессе формализации граничных условий для поля скорости и давления сплошной фазы в прирешеточной зоне аппарата псевдоожиженного слоя, оказалось, что неизвестно давление под газораспределительной решеткой. Его никак невозможно определить из рассмотрения процессов переноса внутри аппарата кипящего слоя. После некоторой паники пришло озарение: это давление определяется гидравликой всей технологической установки от подрешеточного пространства аппарата до выхлопа технологического газа в атмосферу. Следовательно, гидродинамика псевдоожиженного слоя существенно определяется внешней средой, т.е. гидравлическим сопротивлением всех аппаратов и оборудования за аппаратом с псевдоожиженного слоя. Это неожиданное know-how явилось как бы благодарностью за аккуратность и дотошность в формализации математической модели, за стремление к ее замкнутости (себя не похвалишь, никто не похвалит).

Получается, что гидродинамикой кипящего слоя следует заниматься только после разработки всей технологической схемы и всего набора оборудования. Далее следует рассчитать гидравлику установки, и она-то и определит гидродинамику и, следовательно, процессы переноса теплоты и массы. Это и есть одно из интегративных свойств системы – технологической установки.

Заметим мимоходом, что пока еще не получали никаких количественных решений. Очень важный вывод получен на основе системного подхода и формализации взаимодействия частей системы. Только сейчас стала понятна главная причина неудач технологов применять псевдоожиженный слой: гидродинамика не распознана и остальные процессы переноса – тоже. Дошло до того, что сейчас технологи практически перестали применять кипящий слой в своих технологиях. Просто ранее созданные такие технологии оказывались не работоспособными.

Напишем аккуратно всю математическую модель на листах бумаги и посмотрим на них как бы сверху. Гуманитарии и большинство инженеров-технологов увидят кучу крючков, червяков (интегралов), закорючек, символов с индексами вверху и внизу и что-то чему-то равно. Ну, чем не «Черный квадрат» Малевича? Но отринем испуг и храбро пропустим математическую модель через процедуру метода натуральных масштабов, вдумаемся в физический смысл каждого масштаба, рассчитаем их величины по исходным данным. Поймем, какие физические эффекты существенны и значимы, а какие из них малы, и ими можно пренебречь. Наконец, выберем комплект натуральных масштабов (как правило, для многофазных и многокомпонентных систем получается несколько одноименных, но разной физической природы, масштабов). Здесь же по самой процедуре метода получаем весь набор критериев подобия.

С позиции обобщенного анализа проблема решена: получили набор обобщенных функций и комплект обобщенных переменных задачи. Заметим попутно, что обобщенный анализ не дает вида функциональных зависимостей, это не его дело. Обобщенный анализ предлагает обобщенный вид искомых функций и аргументов. И если кто-то думает, что этого мало, то пусть отдыхает или забирается в тупики аналитического, численного и экспериментального решения задач.

Проверка адекватности математической модели проводилась на промышленном аппарате псевдоожиженного слоя и в лабораторных условиях. Подробности, детали экспериментов можно посмотреть в [3]. В целях экономии объема статьи, остается утверждать, что проверка была сделана максимально аккуратно и достоверно. Итак, убедились в адекватности математической модели реальной действительности.

Теперь займемся моделированием во втором смысле, т.е. переносом количественной информации с одного объекта на другой.

Сначала напомним определение понятия подобия (по А.А. Гухману). Два объекта называются подобными, если безразмерные искомые функции от безразмерных переменных тождественны. Из этого определения следуют необходимые и достаточные условия подобия: математические модели должны быть тождественны с точностью до обозначений, а критерии подобия должны быть численно равны.

Для гидродинамики псевдоожиженного слоя оказалось, что безразмерные искомые функции зависят от безразмерных пространственно временных аргументов и 5 (пяти) критериев подобия для жидкостного псевдоожижения и 4 (четырех) критериев подобия для ожижения газами. Итак, чтобы перенести количественную информацию о гидродинамике от лабораторного аппарата кипящего слоя на промышленный, предполагая, что в промышленном не будет новых явлений и эффектов, следует потребовать равенство 4 (или 5) критериев подобия. Это теоретический результат, а практически выполнить это требование оказалось невозможно. Слишком мало возможностей у технолога изменять первичные параметры математической модели, которые образуют критерии подобия. Ситуация осложняется еще и тем, что некоторые параметры задачи входят сразу в 2 или 3 критерия подобия.

Заметим мимоходом: если бы мы занимались еще и процессами тепло массообмена, то число критериев подобия стало бы в разы больше, чем только для гидродинамики.

Однажды автор пробегал по коридору МИТХТ и увидел в открытую дверь усердного аспиранта, который, оказалось, экспериментально искал оптимальный режим технологии обработки какого-то вещества с применением маленького лабораторного аппарата псевдоожиженного слоя. На свое горе аспирант оказался довольно общителен. Надо было видеть его квадратные глаза и бровки домиком, когда я попытался убедить его, что он занимается мартышкиной работой. Ведь гидродинамика в промышленном аппарате и лабораторном будет существенно разная. Следовательно, процессы переноса теплоты и массы будут совершенно другими. Его промышленный аппарат кипящего слоя заведомо не работоспособен, а пусковая бригада будет совершенно бессильна. Так мы и расстались взаимно недовольными друг другом. Я был недоволен, как инопланетянин среди дикарей на Земле, он – полный недоверия. Но защита диссертации состоится, и будущий кандидат химических наук возьмется за разработку промышленной установки (Ура!).

В заключение хочется сказать, что для теплофизиков и инженеров ситуация совсем не безнадежная. Практический рецепт прост: с помощью выражений натуральных масштабов через первичные переменные задачи будем «делать» такую гидродинамику, чтобы обеспечить оптимальное течение процессов переноса теплоты и массы. Лишь бы технолог четко знал, «что такое хорошо, и что такое плохо».

Список использованной литературы.

  1. Л. Г. Лойцянский, Механика жидкостей и газов, М., «Наука», 1978 г., 736 с.
  2. А. А. Гухман, А. А. Зайцев, Обобщенный анализ, М., «Факториал», 1998 г, 303 с.
  3. Н. Н. Прохоренко, Метод натуральных масштабов, приложение к научно-исследовательским и инженерным задачам. Калуга, из-во Н.Ф. Бочкаревой, 2006 г, 186 с.

Наверх

Скачать статью в формате Word