Количественное исследование процессов объекта и математическое моделирование физических процессов.

Вступление. Речь пойдет о количественном исследовании процессов в некотором объекте. Оно проводится, как правило, с целью прогнозирования поведения объекта или для создания некоторого технического устройства, аппарата, реактора. При этом далее всегда стоит задача оптимизации по каким-то критериям качества.

Прилагательное «количественное» обязывает очень ко многому. Эту обязанность как можно кратко сформулировать как требование достоверности, так и точности результатов исследования. Наверное, понятно, что это не одно и тоже. Более того, практика и опыт количественного анализа показывает, что, образно говоря, произведение (достоверность)*(точность)=const, это что-то вроде принципа Гейзенберга в квантовой механике.

Количественное исследование объекта, как правило, проводится путем создания математической модели физических процессов объекта, карикатуры процессов, происходящих в объекте. Чем детальнее физические знания, чем они подробнее, чем больше явлений и механизмов переноса учитывает при разработке модели, тем все ближе и ближе карикатура к фотографии, тем все достовернее становится модель, тем адекватнее она отражает действительность. Математическая формализация любой модели представляет из себя запись законов сохранения (инвариантов) и условий единственности решений, условий корректности задачи. Опыт количественного анализа показывает, что, чем подробнее и детальнее физическое содержание задачи, тем сложнее математическая модель.

Что значит сложнее? Прежде всего, достоверная математическая модель всегда нелинейна и всегда содержит большое количество первичных параметров, характеризующих свойства материи в объекте и взаимосвязь процессов в объекте с внешним миром. Если задача нелинейна, то для нее не существует общих методов решения и она переходит в область искусства, творческого поиска решения. Чуть подробнее рассмотрим вопрос о множественности первичных параметров в математической записи модели. Казалось бы, какая разница: в задаче 3 или 23 параметра? Оказывается - огромная! Действительно, решение задачи при конкретном наборе величин значений этих параметров никому не нужно. Ведь решение необходимо далее для оптимизации поведения процессов объекта, для управления им, а делать это можно только подбором параметров задачи. Следовательно, в решении задачи ее первичные параметры должны быть такими же аргументами, что и пространственно-временные аргументы. Следовательно, размерность задачи, т.е. число степеней свободы объекта, равно сумме числа первичных параметров и числа пространственно-временных аргументов.

Итак, сделаем предварительный вывод: чем достовернее физико математическая модель физических процессов объекта, чем она подробнее и детальнее, тем больше нелинейных членов в уравнениях и условиях единственности, тем больше размерность задачи. Заметим, что о точности решения еще и речь не шла, самого решения еще нет, да и будет ли?

Теперь обратим свое внимание на способы получения решения задачи, имея более менее адекватную математическую модель процессов в изучаемом объекте. Таких способов пока всего три: аналитический, численный и экспериментальный.

Сравнение методов решения задачи для математической модели процессов объекта.

Для хорошего математика нелинейность задачи означает не только отсутствие общих методов решения, как для линейных, сколько неуверенность в корректности. Напомним, что задача называется корректной (по Тихонову А.Н.), если решение существует, если решение единственно, если решение устойчиво к малым изменениям параметров задачи и к малым изменениям правых частей уравнений. Как видите, математики - очень серьезные люди, они не хотят решать задачу, если решения нет. А если решений много, то тут рассердится заказчик: какое из них соответствует действительности? Ну, а если решение еще и неустойчиво, то это все равно, что его нет.

Практика количественных исследований такова, что, оказывается, проще решить задачу, чем доказать ее корректность. А расплачиваться за недоказанную корректность приходится проверкой экспериментом, хотя для математика это совсем не доказательство корректности. Для себя же отметим, что аналитическое решение для серьезных моделей - почти невозможное случайное событие. Достоверность математической модели делает аналитическое решение недостижимой мечтой.

Теперь рассмотрим численное решение задачи на вычислительной технике. Пусть имеется хороший профессионал, способный создавать устойчивые и сходящиеся алгоритмы численного решения, владеющий тайнами вычислительной математики. В его алгоритме обязательно будут операции сравнения величин, и поэтому вычислителю необходимо знать величину нуля решаемой задачи. Разрабатывая математическую модель приходишь в недоумение: «Разве ноль имеет размер?». Переводя на его язык, вычислителю, оказывается, надо заранее знать требуемую точность расчета искомых функций. А откуда при разработке модели процессов объекта узнать точность будущего решения? Приходится мямлить что-то сумеречное о 3-4 значащих цифрах в числах.

Но, и это далеко не все! Компьютеры работает с числами. Значит первичным параметрам надо присвоить какие-то значения величин. Какие? При разработке математической модели, памятуя о предстоящей оптимизации и управлении объектом, просим вычислителя дать решения, разбив диапазон изменения каждого параметра на, например, 10 интервалов. И, если общее число первичных параметров равно N, то по существу разработчик получит кипу распечаток в виде графиков, таблиц в количестве 10N, на каждой распечатке будет зависимость искомых функций от геометрических координат и времени. Ну, и ЧТО будет далее делать исследователь с этой кипой, с такой неудобоваримой информацией? Как проводить оптимизацию и управление объектом? Ведь он получил по существу просто испачканную бумагу, а не предмет для анализа и раздумий!

Но, и это, опять-таки, не все проблемы! Хороший вычислитель спросит при разработке модели, чему равен дифференциал пространственной и временной координаты в его физико математической модели. Здесь разработчик модели приходит в полное отчаяние, для него dx,dy,dz и dτ просто символика чего-то маленького, крошечного. А на самом деле речь идет о физически малом геометрическом объеме внутри исследуемого объекта, в котором искомые функции меняются слабо, незначительно. Что такое слабо - сильно, значительно - незначительно? Сколько это? Ведь мы не поэты, давай числа, и все тут! А для вычислителя эти данные очень важны, ведь речь идет о построении пространственно-временной сетки с шагами Δx, Δy, Δz в геометрическом пространстве и dτ по времени, и в узлах этой сетки надо как-то рассчитывать значения искомых функций. Чем мельче шаг такой сетки, тем больше узлов, тем больше будет занята оперативная память компьютера, может быть, придется подключить и внешнюю память, тем больше время счета. Опять при разработке математической модели придется что-то мямлить и давать бессознательные данные.

Остался еще один путь, последний: получить решение экспериментально. Ход рассуждений здесь таков: измерим искомые функции, найдем зависимость их от пространственно-временных координат, получим графики или табличные данные, далее просто аппроксимируем поточнее эти числовые данные, и все. Какое там все! Сотрудники лаборатории начнут задавать свои очень неудобные вопросы. Прежде всего, они спросят о необходимой точности измерения искомых функций в объекте. Далее, они хотят узнать, с каким шагом по пространству следует установить датчики и с какой точностью этот шаг держать. Далее, им важен размер датчика, чтобы его внесение в объект не исказило физическую обстановку в нем. Наконец, экспериментаторы поинтересуются об инерционности датчика и вторичной аппаратуры, чтобы эта система успевала за релаксациями процесса в объекте.

Наконец, пусть заказчик ну очень богат и обещает оплатить все 10N экспериментов, где, напоминаю, N - число первичных параметров задачи, а 10 - число интервалов разбиения диапазона изменения каждого параметра. Ну, и ЧТО же он будет делать с этой кипой теперь уже экспериментальных данных: графиков, таблиц, аппроксимаций?

Заметим, что численный способ получения решения слабо отличается от экспериментального, проблемы по существу те же, но язык разный. И результат одинаков: получается информация в форме, не доступной для обобщения, необходимого для процедуры оптимизации и управления. Более того, она, строго говоря, не достоверна, так как на простые профессиональные вопросы вычислителя или экспериментатора не было четких и внятных количественных ответов.

Обощенный анализ. Метод натуральных масштабов при математическом моделировании физических процессов.

Сделаем рекламно - спекулятивное, крамольное и еретическое заявление: если в количественном исследовании объекта достоверную физико математическую модель невозможно решить аналитически, численно или экспериментально, то И НЕ НАДО! Существует огромный класс научных и инженерных задач, решение которых совсем не требует управляемой точности. Именно для таких задач и предлагается ЧЕТВЕРТЫЙ способ решения.

Прежде всего отметим, что, слава Богу, физические законы природы действуют независимо от того, что о них думает человек. Следствие: физическим законам совершенно все равно, в какой системе координат их записывает тот же человек. Так, может быть, существует ТАКАЯ система координат, которая снимет, если не все, то большую часть проблем количественного анализа? Да, действительно, есть! В этом и состоит смысл основной идеи обобщенного анализа, как учения о получении наиболее рациональной формы представления результатов количественного исследования процессов объекта. Обобщенный анализ можно сравнить с могучим деревом с тремя ветвями: теория размерностей, теория подобия и метод натуральных масштабов [1, 2, 3]. Памятуя о названии этой статьи, остановимся на рассмотрении третьей ветви обобщенного анализа.

Прежде всего дадим определение понятия: натуральным масштабом аргумента (пространственного или временного) задачи называется такая его протяженность, на которой искомая функция меняется существенно. Существенно - означает, что для линейных задач относительная величина искомой функции изменится в е=2,73... раз, а для нелинейных - искомая функция изменится на величину своего натурального масштаба.

Следствие 1. На протяженностях в 10 раз меньших, чем натуральный масштаб аргумента, искомая функция изменяется несущественно.

Следствие 2. На протяженностях, равных 10 масштабам аргумента, процесс изменения искомой функции совершится полностью во всей ее потенциальной возможности. Исследуемый объект придет в состояние равновесия с внешним миром.

Замечание. Числом е=2,73... (примерно 3) оперируют физики, а числом 10 - математики. Они по разному (хотя и не намного) понимают, что такое много или мало. Для физика увеличение зарплаты в 3 раза уже заметно, а математик и бровью не поведет: давай в 10 раз.

Сама процедура получения выражений натуральных масштабов через первичные параметры физико математической модели процессов в объекте технически очень простая, на уровне «умножить-разделить»: сначала обезразмериваются все операторы в уравнениях задачи, а потом обезразмериваются и сами уравнения и условия единственности. Затем строится система определительных уравнений, из которой и находятся выражения натуральных масштабов в виде степенных комплексов первичных параметров. В общем виде эта процедура показана в [3], а более подробно и как бы популярнее в [4]. Во всяком случае для читателя этой статьи пока важно знать, что такая процедура, кухня существует и что технически она очень простая. Зато философское, идейное содержание этой кухни довольно глубокое, туда совсем не просто нырнуть.

Для простоты и краткости дальнейшего изложения обозначим натуральный масштаб какой-нибудь искомой функции физико математической модели через U*, пространственных переменных через x*, y*, z*, а времени - τ*.

Из следствия 1 получаем, что величина 10-1x*=dx и 10-1τ*=dτ. Иными словами, величина дифференциала пространственной и временной координаты, размер физически малого объема dV=10-1x*10-1y*10-1z*, оказывается, определяются самой математической моделью объекта, т.е. тем физическим содержанием, которое по воле разработчика модели заложено в модели. Совершенно неожиданный результат! Сам разработчик, оказывается, формирует, да еще и не осознанно, физически малый объем и физически малое время процессов в объекте. Для математика это совершенный нонсенс, но не забудем, что математик работает с количествами и ему совершенно все равно количество ЧЕГО, а мы вынуждены работать еще и с качеством, т.е. физическим смыслом математических величин, операций , процедур. Например, в [4] в главе о гидродинамике псевдоожиженного слоя показано, что z* = 1,5 м, т.е. на таком расстоянии по вертикали существенно меняется поле концентрации дисперсной фазы и поля скорости и давления в сплошной. Следовательно, dz = 150 мм. Что же здесь возмутительного? Будем привыкать!

Из следствия 2 получаем прямое руководство к построению эскизного проекта нестандартного оборудования в химической технологии. Действительно, знание линейных натуральных масштабов процессов позволяет указать габаритные размеры аппарата, расстояние между входным и выходным штуцерами. Знание натурального масштаба времени позволяет определить расход технологического потока, чтобы время пребывания его в реакционной зоне было равно 10τ*.

Далее, из следствия 1 получаем ответы на все «проклятые» вопросы и вычислителя и экспериментатора. Например, вычислителю скажем, что пространственный шаг его сетки должен быть не больше 10-1x*, а временной - не больше 10-1τ*. Иначе в более грубой сетке будут «выброшены» какие-то физические эффекты, так дорогие сердцу разработчика математической модели. Если законы вычислительной математики требуют измельчения пространственно-временной сетки, то пожалуйста, а огрублять ее нельзя. Одновременно, легко решается проблема точности искомого решения: математическая модель объекта по своему физическому содержанию, по набору физических эффектов, явлений, учтенных в модели, НЕ ОТВЕЧАЕТ за изменения искомой функции МЕНЕЕ 10-1U*. Это и есть размер нуля задачи.

После получения величин натуральных масштабов процессов в объекте несложно сообщить экспериментатору, что линейный размер активной части датчика, вносимой в геометрическое пространство объекта, должен быть не крупнее 10-2x*, что полоса частот неискаженного сигнала на амплитудно-частотной характеристике системы датчик - вторичная аппаратура должна быть не менее (10-1τ*)-1 герц.

Таким образом, если уж очень хочется получить численное или экспериментальное решение, то исходную физико математическую модель объекта необходимо заранее обработать методом натуральных масштабов. Без этого она (модель) даже не полупродукт, а исходное сырье, мало кому нужное.

Натуральные масштабы процессов в объекте несут огромную качественную, физическую информацию, подчас вполне достаточную для завершения количественного исследования. Действительно, сама процедура получения выражения каждого натурального масштаба через первичные параметры задачи позволяют выяснить его физический смысл. Ведь процедурно каждый масштаб получается из безразмерного степенного комплекса, являющегося мерой отношения каких-то двух физических эффектов. Получив масштаб из этого комплекса, мы по существу считаем эти эффекты существенными и соизмеримыми. Более того, для очень сложных объектов (многофазность, многокомпонентность, дисперсность потоков, взаимное влияние всех трех видов переноса: гидродинамика, тепло и массообмен) получаем целый спектр, букет одноименных натуральных масштабов разной физической природы, разного физического смысла. Вспоминая определение натурального масштаба, в этом букете несложно выявить главные и второстепенные физические эффекты, учтенные в физико математической модели с целью полноты и детальности рассмотрения, как бы для перестраховки. Заметим: решения нет, а сопоставить эффекты можно, получается ясная и отчетливая физическая картина, которую невозможно получить никаким другим способом.

Наконец, обрушимся на размерность достоверной математической модели процессов в объекте. Выявив с помощью натуральных масштабов существенные и незначимые физические эффекты, учтенные в модели, наверное, понятно, что последние можно исключит из рассмотрения вместе с их нелинейностью, а, главное, с присущими им первичными параметрами. Получился исключительно важный результат: здесь озвучена процедура упрощения математической модели БЕЗ искажения физической картины, БЕЗ ухудшения достоверности математической модели!

Но уменьшение размерности задачи происходит в основном по другой причине. Дело в том, что выбранный комплект натуральных масштабов и искомых функций и пространственно-временных аргументов сам в себе содержит, концентрирует, собирает все первичные параметры задачи. Именно здесь происходит существенное уменьшение размерности задачи в разы, а иногда и на порядок. Действительно, пусть математическая модель имеет Ui искомых функций, i=1, 2, 3,...K, αj - первичных параметров задачи, j=1, 2, 3, ....N и x,y ,z, τ - аргументов. Тогда в размерном виде решение имеет вид

Размерный вид решения математической модели

После обработки физико математической модели методом натуральных масштабов получаем

Обобщенный вид решения математической модели

Здесь πК - критерии подобия. Именно в Ui*, в πК, в x*, y*, z*, τ* сконцентрировались все первичные параметры в виде степенных выражений. Определение конкретного вида функции φi - это НЕ проблема обобщенного анализа. Результатом его применения является НАБОР обобщенных переменных всей задачи, причем число обобщенных аргументов задачи, т.е. ее размерность, существенно уменьшилось по сравнению с размерной задачей.

Замечание. Технической сутью процедуры метода натуральных масштабов является процесс сначала обезразмеривания операторов в уравнениях математической модели, а далее и каждого уравнения и условий единственности. Хороший математик вскользь заметит, что здесь нет ничего нового, всякую модель культурный разработчик должен выдавать в безразмерной форме. Но, если такого культурного и хорошего математика спросить, а на ЧТО обезразмеривать, то ответа не будет. Зато обобщенный анализ четко говорит: на натуральные масштабы.

Применение обобщенного анализа вообще и метода натуральных масштабов в частности имеет еще много достоинств и преимуществ, их просто невозможно отразить в небольшой статье, поэтому отсылаем любопытного и любознательного читателя к [3, 4].

Заключение. Автором и наиболее последовательным разработчиком обобщенного анализа научная общественность заслуженно признает проф. Александра Адольфовича Гухмана. В последние годы своей жизни его занимали мысли о слабой применимости обобщенного анализа даже самыми оригинальными и одаренными научными лидерами и работниками. Его объяснение этого обстоятельства следующее. Физики занимаются сутью процесса, взаимными связями одновременно и одноместно протекающих процессов, они озабочены поиском параметров состояния объекта, среди них потенциалов и координат состояния, теоретических или эмпирических корреляций. Короче говоря, физики занимаются КАЧЕСТВОМ. Математики же занимаются КОЛИЧЕСТВОМ и им все равно количеством ЧЕГО. С точки зрения А.А. Гухмана такая специализация творческого мышления губительна для понимания изучаемых процессов и адекватного их количественного анализа. Одновременно, это обстоятельство служит серьезным, если не необоримым, препятствием для овладения обобщенным анализом, в котором качество и количество неделимы, не противопоставляются. Напротив, эффекты различной физической природы рассматриваются во взаимосвязи, сравниваются количественно, устанавливается их соизмеримость или малость по отношению друг к другу, определяются главные и второстепенные, высокоинтенсивные и лимитирующие, быстрые и медленные.

Можно добавить и другие доводы, объясняющие слабую применимость обобщенного анализа в арсеналах научных и инженерных работников. Эти доводы основаны на собственном горько-радостном опыте применения его, на работе с аспирантами, на лекциях для НЕ самых глупых студентов. Лишь напомним, что источником натуральных масштабов является «хорошая» физико математическая модель процессов в объекте. Поэтому препятствием для применения метода являются следующие обстоятельства:

  1. Слабая изученность объекта, скудные физические представления о процессах. В пустыне цветы не растут и не цветут.
  2. Отсутствие навыка математической формализации модели. За математической символикой НЕ ВИДНО физического смысла оператора, функционала, члена уравнения.
  3. Отсутствие системного мышления, т.е. понимания, что исследуемый объект является частью некоторой системы. Именно здесь источник условий корректности будущей модели. Оказывается, 90% всего времени построения физико математической модели уходит именно на осмысление и затем формализацию условий сопряжения объекта с его надсистемой.
  4. Боязнь нелинейности математической модели, т.к. где-то в спинном мозге, в районе копчика сидит надежда об аналитическом решении, о получении расчетной формулы, а собственный уровень «решабельности» считается невысоким. Начинается уродование модели и все идет прахом.
  5. Трудность физической интерпретации, понимания физического смысла полученных натуральных масштабов, особенно, когда их много. Частично это следствие п. 2.

Однажды, на прогулке с А.А. Гухманом по парку, автор этой статьи укорил профессора, что его статьи, монографии трудно читать. В каждом развернутом предложении столько мыслей, идей, деталей, условий, что приходиться это предложение перечитывать по много раз. На мой упрек получил суровый ответ: « Коля, я пишу не для ишаков!». Пришлось минут 5 размышлять, ишак я или нет. Поэтому даю дружеский совет читателю: освойте сначала [4], накопите вопросы, недоумения, возражения, а уж потом беритесь за [1, 2, 3].

Список использованной литературы

  1. Гухман А.А., Физические основы теплопередачи, М., ОНТИ - Энергоиздат, 1934, с. 318.
  2. Гухман А.А., Применение теории подобия к исследованию процессов тепло и массообмена, М., Высшая школа, 1974, с. 328.
  3. Гухман А.А., Зайцев А.А., Обобщенный анализ, М., изд-во «Факториал», 1998, с. 308.
  4. Прохоренко Н.Н., Метод натуральных масштабов. (приложение к научно-исследовательским и инженерным задачам), 001. 894. 024. П84. Рукопись в ЧОУНБ, депонир. 22. 01. 2002, №2744.

Наверх

Скачать статью в формате Word